Übungen zu Höhere Mathematik für Physiker: Blatt 5, Aufgabe 5

Aufgabe. (a) Sei $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ gegeben durch \[f(x) = a_1x_1+\dots+a_nx_n\] mit $a_1,\dots,a_n \in \mathbb R$ fest, so dass $a_\nu\neq 0$ für ein $\nu \in \{1,\dots,n\}$. Sei \[V = \{x\in\mathbb R^n:f(x)=0\}.\] Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass $V$ eine $n$-dimensionale Nullmenge ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Sphäre \[S^n = \{x\in\mathbb R^{n+1}:||x||=1\}\] eine $(n+1)$-dimensionale Nullmenge ist.

Lösung. (a) Zunächst behandeln wir die Aufgabe für den Fall, dass $a_n \neq 0$ (bzw. dass $\nu = n$). Sei $\epsilon > 0$. Laut Definition (s. VL, (6.2)) haben wir die Existenz einer Folge $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ $n$-dimensionaler Quader nachzuweisen, so dass \begin{equation}V \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \qquad \text{und} \qquad \sum_{k=1}^\infty \lambda(Q_k)<\epsilon. \label{e_vnullmenge}\end{equation} Im Folgenden möchten wir ein Beispiel für eine solche Folge $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ möglichst explizit konstruieren. Als Hilfsmittel definieren wir eine Funktion $g\colon \mathbb R^{n-1}\to\mathbb R$ durch \[g(x)= g(x_1,\dots,x_{n-1}) = -\frac{a_1}{a_n}x_1-\dots-\frac{a_{n-1}}{a_n}x_{n-1}\] und setzen \[L := \left|\frac{a_1}{a_n}\right|+\dots+\left|\frac{a_{n-1}}{a_n}\right|.\] Damit existiert $l\in\mathbb N_0$ dergestalt, dass \[\frac{L}\epsilon < 2^l;\] konkret nehme man für $l$ etwa das Minimum der $l\in\mathbb N_0$, die letzterer Ungleichung genügen. Für $j\in \mathbb N$ schreiben wir \[I_j := \{0,1,\dots,2^{l+j(n+1)}-1\}^{n-1}\] und  \[\mu_j := \left(\frac12\right)^{l+jn}.\] Weiter setzen wir \[J := \left\{(j,i):j\in\mathbb N, i=(i_1,\dots,i_{n-1}) \in I_j\right\}\] und, für alle $(j,i) \in J$, \[p_j^i := \left(\frac{\mu_j}2-2^{j-1}\right)\cdot(1,\dots,1) + \mu_j\cdot(i_1,\dots,i_{n-1}) \in \mathbb R^{n-1}\] sowie \begin{align*}Q_j^i := \biggl\{x\in\mathbb R^n: & ||(x_1,\dots,x_{n-1})-p_j^i||_\infty \leq \frac{\mu_j}2, \\ & |x_n-g(p_j^i)| \leq L\frac{\mu_j}2\biggr\}.\end{align*} Sei $\phi \colon \mathbb N \to J$ eine Bijektion, sprich eine Abzählung, gemäß der Darstellung \[J = \bigcup_{j\in\mathbb N}\{j\} \times I_j\] von $J$ (man beachte, dass die Mengen $I_j$ allesamt endlich sind). Dann definieren wir $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ als die Verkettung von $\phi$ und der Familie $(Q_j^i)_{(i,j) \in J}$.

Nach Definition der $\infty$-Norm (auch: Maximumsnorm) ist klar, dass es sich, für alle $k\in\mathbb N$, bei $Q_k$ um einen (kompakten) $n$-dimensionalen Quader (mit Seitenlängen $\mu_j,\dots,\mu_j$, $(n-1)$-mal, und $L\mu_j$) handelt. Das heißt $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ ist eine Folge $n$-dimensionaler Quader.

Sei jetzt $x = (x_1,\dots,x_n) \in V$. Dann gibt es augenscheinlich ein $j \in \mathbb N$, so dass \[||(x_1,\dots,x_{n-1})||_\infty \leq 2^{j-1}.\] Weiterhin gibt es ein Tupel \[i = (i_1,\dots,i_{n-1}) \in I_j,\] so dass \[||(x_1,\dots,x_{n-1})-p_j^i||_\infty \leq \frac{\mu_j}2;\] tatsächlich gilt diese Beziehung, wie man sich leicht überlegt, wenn $i$ aus \[\frac1{\mu_j}\cdot (2^{j-1}\cdot (1,\dots,1)+(x_1,\dots,x_{n-1})) \in \mathbb R^{n-1}\] durch komponentenweises Anwenden der Gaußklammer entsteht. Da \[a_1x_1+\dots+a_nx_n = 0,\] gilt \[g(x_1,\dots,x_{n-1}) = x_n.\] Das heißt, \begin{align*}|x_n-g(p_j^i)| & = |g(x_1,\dots,x_{n-1}) - g(p_j^i)| \\ & \leq L||(x_1,\dots,x_{n-1})-p_j^i||_\infty \leq L\frac{\mu_j}2,\end{align*} da, nach Definition von $L$, für alle $v,w\in \mathbb R^{n-1}$: \[|g(v)-g(w)|=|g(v-w)| \leq L||v-w||_\infty.\] Also ist $x \in Q_j^i$ und mithin $x \in \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k$. Da $x \in V$ beliebig war, haben wir $V \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k$.

Für alle $j \in \mathbb N$ gilt nach Definition des Quadervolumens (als Produkt der Kantenlängen): \begin{align*}\sum_{i\in I_j}\lambda(Q_j^i) & = \sum_{i\in I_j}\mu_j^{n-1}(L\mu_j) \\ &= (2^{l+j(n+1)})^{n-1}\mu_j^nL=2^{-l-j}L<\frac\epsilon{2^j}.\end{align*} Demnach haben wir (möglicherweise unter Zuhilfenahme des Umordnungssatzes für absolut konvergente Reihen): \[\sum_{k=1}^\infty\lambda(Q_k) = \sum_{j=1}^\infty\left(\sum_{i\in I_j}\lambda(Q_j^i)\right)<\sum_{j=1}^\infty\frac\epsilon{2^j}=\epsilon.\] Im Fall, dass $a_n\neq 0$, ist die Aufgabe somit abgehandelt.

In der allgemeinen Situation, in der lediglich bekannt ist, dass ein Index $\nu \in \{1,\dots,n\}$ existiert, so dass $a_\nu \neq 0$ gilt, kann man letztlich in völliger Analogie zu obigem Vorgehen eine Folge $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ mit den gewünschten Eigenschaften gewinnen, wobei man zu beachten hat, dass nun die $\nu$-te Komponente, und nicht mehr die $n$-te Komponente, eine ausgezeichnete Rolle einnimmt. Der Aufschrieb wird durch diese zusätzliche Allgemeinheit leider erschwert. Daher haben wir uns dafür entschieden, nur den Fall $a_n\neq 0$ in absoluter Explizitheit zu beschreiben. A posteriori können wir jedoch die allgemeine Situation auf unsere spezielle Situation zurückführen: Dazu betrachten wir anstelle von $a:=(a_1,\dots,a_n)$ dasjenige Tupel, das aus $a$ hervorgeht, indem man die $\nu$-te und die $n$-te Komponente im Tupel vertauscht. Für dieses neu gewonnene Tupel $\tilde a$ gilt $\tilde a_n \neq 0$. Nach obigem Prinzip generieren wir zu $\tilde a$ eine Quaderfolge $(\tilde Q_k)_{k\in\mathbb N}$. Anschließend erklären wir eine Folge $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ durch Rückvertauschung von $\nu$-ter und $n$-ter Komponente in den Quadern $\tilde Q_k$. Letztere Folge $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ ist eine Folge von Quadern, die den gewünschten Bedingungen \eqref{e_vnullmenge} genügt.

(b) Diese Teilaufgabe ist im Vergleich zu Teilaufgabe (a) sehr einfach, da eine explizite Angabe von Quaderfolgen $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ (zu gegebenen $\epsilon$-Werten) nicht gefordert ist. Man argumentiert beispielsweise so: Mit den Setzungen \begin{align*}S_+ & := \{x \in S^n:x_{n+1}>0\}, \\ S_- & := \{x \in S^n:x_{n+1}<0\}, \\ S_0 & := \{x \in S^n:x_{n+1}=0\}\end{align*} hat man \[S^n = S_+ \cup S_0 \cup S_-.\] Bezeichnen \[g_+,g_-\colon \{x \in \mathbb R^n:||x||<1\} \to \mathbb R\] diejenigen beiden Funktionen, die (respektive) durch die Vorschrift \[g_\pm(x) = \pm\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}\] gegeben sind, so entspricht $S_\pm$ offenbar dem Graphen von $g_\pm$. Daher sind $S_+$ und $S_-$ $(n+1)$-dimensionale Nullmengen nach Vorlesung (man beachte: die Funktionen $g_\pm$ sind stetig mit in $\mathbb R^n$ offenem Definitionsbereich). Des Weiteren gilt \[S_0 \subset [-1,1]^n \times [0,0].\] Hier ist die rechts stehende Menge ein $(n+1)$-dimensionaler Quader mit Quaderinhalt gleich $0$, $S_0$ daher trivialerweise eine Nullmenge. Da abzählbar unendliche und damit auch endliche Vereinigungen von Nullmengen laut Vorlesung wieder Nullmengen sind, ist $S^n$ eine Nullmenge, q. e. d. $\Box$

Höhere Mathematik für Physiker: Graphen stetiger Funktionen sind Nullmengen

Im Folgenden beweisen wir, dass es sich bei Graphen stetiger Funktionen $f\colon U\to \mathbb R$ mit offenem Definitionsbereich $U \subset \mathbb R^n$ um $(n+1)$-dimensionale Nullmengen handelt. Diese Aussage wurde in der Vorlesung ohne Beweis notiert. Tatsächlich werden wir sogar ein wenig mehr zeigen.

Da in puncto Nullmengen verschiedene Sprechweisen und Konventionen kursieren, wiederholen wir unsere

Definition. Sei $n \in \mathbb N$. Dann versteht man unter einer $n$-dimensionalen Nullmenge eine Teilmenge $N \subset \mathbb R^n$, so dass für jede Zahl $\epsilon > 0$ eine Folge $(Q_k)_{k\in\mathbb N}$ $n$-dimensionaler Quader existiert, für die gilt: \[N \subset \bigcup_{k\in\mathbb N}Q_k \qquad \text{und} \qquad \sum_{k=1}^\infty \lambda^n(Q_k) < \epsilon.\] Dabei bezeichnet $\lambda^n$ den $n$-dimensionalen Quaderinhalt.

Die zentrale Idee, wie man Graphen stetiger Funktionen möglichst volumensparend mit (kompakten) Quadern überdeckt, liegt in folgendem

Lemma 1. Sei $n \in \mathbb N_0$, $K \subset \mathbb R^n$ eine kompakte Teilmenge und $f\colon K \to \mathbb R$ eine stetige Funktion. Dann ist \begin{equation}\Gamma := \{(x_0,\dots,x_{n-1},y)\in\mathbb R^{n+1}:f(x_0,\dots,x_{n-1})=y\}\label{e_graph}\end{equation} eine $(n+1)$-dimensionale Nullmenge.

Beweis. Sei $\epsilon > 0$. Als Kompaktum ist $K$ insbesondere eine beschränkte Teilmenge von $\mathbb R^n$, d. h. es existiert eine Zahl $a>0$ dergestalt, dass \[K \subset [-a,a]^n.\] Des Weiteren ist $f$ als stetige Funktion mit kompaktem Definitionsbereich gleichmäßig stetig. Mithin gibt es eine Zahl $\delta>0$, so dass für alle $x,x' \in K$ gilt: \[||x-x'||_\infty<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x')|<\epsilon' := \frac\epsilon{2(2a)^n}.\] Nach archimedischem Axiom existiert eine natürliche Zahl $m$ mit der Eigenschaft \[\frac{2a}\delta < m.\] Für alle \[i = (i_0,\dots,i_{n-1}) \in \{0,\dots,m-1\}^n\] setzen wir nun: \[Q'_i := \left((-a,\dots,-a)+\frac{2a}m(i_0,\dots,i_{n-1})\right)+\left[0,\frac{2a}m\right]^n \subset \mathbb R^n.\] Zudem definieren wir \[I := \{i \in \{0,\dots,m-1\}^n : Q'_i \cap K \neq \emptyset\}.\] Damit existiert für alle $i \in I$ ein, und nur ein, $z_i$, das bezüglich der lexikografischen Ordnung auf $\mathbb R^n$ kleinstes Element von $Q'_i \cap K$ ist. Für $i \in I$ definieren wir: \[Q_i := Q'_i \times [f(z_i)-\epsilon',f(z_i)+\epsilon'] \subset \mathbb R^{n+1}.\] Sei nun $(x_0,\dots,x_{n-1},y) \in \Gamma$. Dann ist $x \in K$, also auch $x \in [-a,a]^n$. Demzufolge existiert offensichtlich ein $i \in \{0,\dots,m-1\}^n$, so dass $x \in Q'_i$. Es gilt $i \in I$, da $x \in Q'_i \cap K$. Da \[||x-z_i||_\infty \leq \frac{2a}m < \delta,\] haben wir \[|f(x)-f(z_i)| < \epsilon'.\] Das heißt, \[(x_0,\dots,x_{n-1},y) \in Q_i.\] In der Folge gilt \[\Gamma \subset \bigcup_{i\in I}Q_i.\] Nach Festlegung des Lebesgue'schen Volumens von Quadern haben wir, für alle $i \in I$: \[\lambda^{n+1}(Q_i) = \left(\frac{2a}m\right)^n\cdot 2\epsilon' = \frac1{m^n}\epsilon.\] Das heißt, \[\sum_{i\in I}\lambda^{n+1}(Q_i) = \sum_{i\in I}\frac1{m^n}\epsilon \leq m^n\frac1{m^n}\epsilon = \epsilon,\] was zu beweisen war. $\Box$

Folgerung. Sei $n \in \mathbb N_0$, $A \subset \mathbb R^n$ und $f\colon A \to \mathbb R$ eine stetige Funktion, so dass eine höchstens abzählbare Familie $(K_j)_{j\in J}$ von kompakten Teilmengen $K_j \subset \mathbb R^n$ mit \[A = \bigcup_{j\in J}K_j\] existiert. Dann ist \eqref{e_graph} eine $(n+1)$-dimensionale Nullmenge.

Beweis. Für alle $j\in J$ ist $K_j \subset \mathbb R^n$ kompakt und $f|K_j \colon K_j \to \mathbb R$ eine stetige Funktion. Daher ist \[\Gamma_j := \{(x_0,\dots,x_{n-1},y)\in\mathbb R^{n+1}:(f|K_j)(x_0,\dots,x_{n-1})=y\}\] nach Lemma 1 eine $(n+1)$-dimensionale Nullmenge. Zudem gilt offenbar \[\Gamma = \bigcup_{j\in J}\Gamma_j,\] da $A = \bigcup_{j\in J}K_j$. Somit ist $\Gamma$ eine Nullmenge laut Vorlesung. $\Box$

Lemma 2. Für alle $n \in \mathbb N_0$ und alle offenen Teilmengen $U \subset \mathbb R^n$ existiert eine höchstens abzählbare Menge $\mathfrak Q$ kompakter $n$-dimensionaler Quader, so dass \[U = \bigcup\mathfrak Q.\]

Beweis. Für alle $k\in\mathbb N_0$ und alle $i = (i_0,\dots,i_{n-1}) \in \mathbb Z^n$ setzen wir: \[Q_i^k := \frac1{2^k}\left(i + [0,1]^n\right).\] Wir definieren \[\mathfrak Q := \{Q_i^k:k\in\mathbb N_0, i \in \mathbb Z^n, Q_i^k \subset U\}.\] Die Zuordnung $(k,i) \mapsto Q_i^k$ liefert eine Bijektion zwischen einer Teilmenge von $\mathbb N_0 \times \mathbb Z^n$ und $\mathfrak Q$. Daher ist $\mathfrak Q$ höchstens abzählbar. Ebenfalls evident ist:\[\bigcup\mathfrak Q \subset U.\] Sei jetzt $x\in U$ beliebig. Dann existiert aufgrund der Offenheit von $U$ in $\mathbb R^n$ (und der Äquivalenz sämtlicher Normen auf $\mathbb R^n$) eine Zahl $\epsilon > 0$ derart, dass \[\{y \in \mathbb R^n: ||y-x||_\infty < \epsilon\} \subset U.\] Damit existieren eine natürliche Zahl $k \in \mathbb N_0$, so dass \[\frac1\epsilon < 2^k,\] und des Weiteren ein Element $i \in \mathbb Z^n$, so dass \[x \in Q_i^k.\] Im letzten Schritt kann man dabei $i \in \mathbb Z^n$ als dasjenige Tupel wählen, das entsteht, wenn man auf $2^kx \in \mathbb R^n$ komponentenweise die Gaußklammer anwendet. Da für alle $y \in Q_i^k$ die Beziehung \[||y-x|| \leq \frac1{2^k} < \epsilon\] gilt, haben wir $Q_i^k \subset U$. Demzufolge ist $Q_i^k \in \mathfrak Q$ und $x \in \bigcup \mathfrak Q$. Da $x \in U$ beliebig war, folgt $U \subset \bigcup \mathfrak Q$, was zu beweisen war. $\Box$

Satz. Für alle $n \in \mathbb N_0$ und alle stetigen Funktionen $f\colon U\to \mathbb R$, die auf offenen $U \subset \mathbb R^n$ definiert sind, ist \eqref{e_graph} eine $(n+1)$-dimensionale Nullmenge.

Beweis. Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Lemma 2 und Folgerung aus Lemma 1. $\Box$