Folgender Satz über das Differenzieren parameterabhängiger Integrale ist in der Maßtheorie geläufig.
Wir möchten aus obigem Satz einen entsprechenden Satz für Integrale ableiten, die von einem komplexen Parameter abhängen. Es gilt:
Als Anwendung betrachten wir einen Punkt $c \in \C^n$, $n \in \N$, einen Multiradius $r = (r_1,\dots,r_n) > 0$ sowie eine Funktion \[f \colon T \to \C, \quad T = T(c,r).\] Hier ist
\[T(c,r) = T(c_1,r_1) \times \dots \times T(c_n,r_n)\]
und
\[T(c_\nu,r_\nu) = \{z_\nu \in \C \mid |z_\nu - c_\nu| = r_\nu\}, \quad \nu = 1,\dots,n.\]
Für $\nu = 1,\dots,n$ definieren wir \[\gamma_\nu \colon [0,2\pi] \to \C, \quad \gamma_\nu(\omega_\nu) = c_\nu + r_ve^{\omega_\nu i}.\] Weiter definieren wir \[\gamma \colon [0,2\pi]^n \to T \subset \C^n, \quad \gamma(\omega) = (\gamma_1(\omega_1),\dots,\gamma_n(\omega_n)).\] Wir wollen annahmen, dass \[f \circ \gamma \in L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\C),\] wobei $\lambda$ die Einschränkung des $n$-dimensionalen Lebesgue-Maßes auf $[0,2\pi]^n \subset \R^n$ bezeichnet; dies gilt z. B., wenn $f \colon T \to \C$ Borel-messbar und beschränkt (spezieller noch: stetig) ist. Wir fixieren ein $\nu \in \{1,\dots,n\}$ sowie komplexe Zahlen \[z_1,\dots,z_{\nu-1},z_{\nu+1},\dots,z_n,\] so dass $|z_\mu - c_\mu| \neq r_\mu$ für alle $\mu \neq \nu$. Wir setzen \[U := \C \setminus T(c_\nu,r_\nu)\] und definieren \[h \colon U \times [0,2\pi]^n \to \C, \quad h(z_\nu,\omega) := \frac{f(\gamma(\omega))}{(\gamma(\omega) - z)^m}\gamma_1'(\omega_1)\cdot\ldots\cdot\gamma_n'(\omega_n).\] Hier ist $m = (m_1,\dots,m_n) \in (\N^*)^n$ ein beliebiger Multiindex. Dann gilt für alle $z_\nu \in U$ und alle $\omega \in [0,2\pi]^n$:
\begin{align*}
|h(z_\nu,\omega)| &= \frac{|(f \circ \gamma)(\omega)|}{|(\gamma(\omega) - z)^m|}r_1\cdot\ldots\cdot r_n \\ &\leq \frac{|(f \circ \gamma)(\omega)|}{|r_1 - |z_1||^{m_1}\cdot\ldots\cdot|r_n - |z_n||^{m_n}}r_1\cdot\ldots\cdot r_n.
\end{align*}
Das heißt, für alle $z_\nu \in U$ ist $h(z_\nu,-)$, zusammen mit $f\circ \gamma$, ein Element von $L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\C)$. Weiterhin gilt offensichtlich $h(-,\omega) \in \mathcal O(U)$ für alle $\omega \in [0,2\pi]^n$, und für alle $z_\nu \in U$ haben wir zudem
\[h'(z_\nu,\omega) = m_\nu\frac{f(\gamma(\omega))}{(\gamma(\omega) - z)^{m + e_\nu}}\gamma_1'(\omega_1)\cdot\ldots\cdot\gamma_n'(\omega_n).\] Ähnlich wie für $h(z_\nu,-)$ sehen wir ein, dass \[h'(z_\nu,-) \in L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\C)\] für alle $z_\nu \in U$.
Sei jetzt entweder $0 < r_\nu' < r_\nu$ oder $r_\nu' > r_\nu$ und entsprechend \[U' = \{z_\nu \mid |z_\nu - c_\nu| < r_\nu'\}\] oder \[U' = \{z_\nu \mid |z_\nu - c_\nu| > r_\nu'\}.\] Dann gibt es eine Funktion $g \in L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\R)$, nämlich \[g = C |f \circ \gamma|\] für eine Zahl $C > 0$, so dass \[|h'(z_\nu,\omega)| \leq g(\omega)\] für alle $\omega \in [0,2\pi]^n$ und alle $z_\nu \in U'$. Satz 2 liefert daher, dass \[H|_{U'} \in \mathcal O(U')\] mit entsprechender Formel für $H'|_{U'}$. Da $r_\nu'$ beliebig nahe bei $r_\nu$ gewählt werden kann, folgt $H \in \mathcal O(U)$ und \[H'(z) = \int_{[0,2\pi]^n} h'(z_\nu,-) d\lambda\] für alle $z \in U$.
Hebt man die Fixierung der $z_1,\dots,z_{\nu-1},z_{\nu+1},\dots,z_n$ sowie die Fixierung von $\nu$ auf, so zeigt das vorgestellte Argument die partielle komplexe Differenzierbarkeit der Funktion \[z \mapsto \int_T \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^m} d\zeta\] auf \[(\C \setminus T(c_1,r_1)) \times \dots \times (\C \setminus T(c_n,r_n)).\]
Satz 1. Seien $n,m \in \N$, $U \subset \R^n$ offen, $(\Omega,A,\mu)$ ein Maßraum, \[h \colon U \times \Omega \to \R^m\] eine Funktion. Angenommen,In der Formulierung von Satz 1 bezeichnet $D_xh(x,\omega)$ das totale Differenzial der Funktion \[h(-,\omega) \colon U \to \R^m\] im Punkte $x$. Sämtliche totalen Differenziale fassen wir als Matrizen auf, sprich als Elemente von $\R^{n\times m}$. Die Doppelstriche $||-||$ bezeichnen irgendeine Norm auf $\R^{n\times m}$, etwa die Operatornorm, die von den euklidischen Normen induziert ist. Alle Integrale sind Lebesgue-Integrale. Integrale von $\R^m$- oder $\R^{n\times m}$-wertigen Funktionen erklärt man dabei komponentenweise.
Dann ist die Funktion \[H \colon U \to \R^m, \quad H(x) = \int_\Omega h(x,-) d\mu\] von der Klasse $C^1$ mit \[DH(x) = \int_\Omega D_xh(x,-) d\mu\] für alle $x \in U$.
- $h(x,-) \in L^1(\Omega,\mu,\R^m)$ für alle $x \in U$,
- $h(-,\omega) \in C^1(U,\R^m)$ für alle $\omega \in \Omega$,
- $D_xh(x,-) \in L^1(\Omega,\mu,\R^{m\times n})$ für alle $x \in U$,
- es gibt eine Funktion $g \in L^1(\Omega,\mu,\R)$, so dass für alle $\omega \in \Omega$ und alle $x \in U$ gilt: \[||D_xh(x,\omega)|| \leq g(\omega).\]
Wir möchten aus obigem Satz einen entsprechenden Satz für Integrale ableiten, die von einem komplexen Parameter abhängen. Es gilt:
Satz 2. Sei $U \subset \C$ offen, $(\Omega, A, \mu)$ ein Maßraum, \[h \colon U \times \Omega \to \C\] eine Funktion. Angenommen,Beweis. Sei $f \colon U \to \C$ irgendeine holomorphe Funktion, $z \in U$. Dann gilt \[||Df(z)|| = |f'(z)|,\] wobei links die von der euklidischen Norm auf $\R^2$ induzierte Matrixnorm des totalen Differenzials steht. Tatsächlich haben wir \[Df = \begin{pmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x\end{pmatrix}\] mit \[u = \Re f, \quad v = \Im f, \] also \[||Df(z)|| = \sqrt{u_x(z)^2 + v_x(z)^2} = |u_x(z) + iv_x(z)| = |f'(z)|;\] das erste Gleichheitszeichen rechnet man leicht nach. Daher ergibt sich $H \in C^1(U,\C)$ vermittels Satz 1 (man beachte: aus $h(-,\omega) \in \mathcal O(U)$ folgt $h(-,\omega) \in C^1(U,\C)$). Des Weiteren folgt aus Satz 1, dass \[DH(z) = \int_\Omega D_zh(z,-) d\mu\] für alle $z \in U$, insbesondere also (man Matrix-multipliziere beide Seiten von rechts mit dem Vektor $\frac12\binom1i$) \[\frac{\partial H}{\partial\bar z}(z) = \int_\Omega \frac{\partial h}{\partial\bar z}(z,-) d\mu = \int_\Omega 0 d\mu = 0\] für alle $z \in U$, da wir für alle $\omega \in \Omega$ die Funktionen $h(-,\omega)$ als holomorph angenommen hatten, wodurch die antiholomorphen Ableitungen unter dem Integral verschwinden. Bekanntlich ist somit $H \in \mathcal O(U)$. Zudem gilt für alle $z \in U$: \begin{align*}H'(z) & = \frac{\partial H}{\partial x}(z) = (DH(z))\binom10 \\ & = \int_\Omega (D_zh(z,-))\binom10 d\mu \\ & = \int_\Omega \frac{\partial h}{\partial x}(z,-) d\mu \\ & = \int_\Omega h'(z,-) d\mu,\end{align*} was zu beweisen war. $\Box$
Dann ist die Funktion \[H \colon U \to \C, \quad H(z) = \int_\Omega h(z,-) d\mu\] holomorph auf $U$ mit \[H'(z) = \int_\Omega h'(z,-) d\mu\] für alle $z \in U$.
- $h(z,-) \in L^1(\Omega,\mu,\C)$ für alle $z \in U$,
- $h(-,\omega) \in \mathcal O(U)$ für alle $\omega \in \Omega$,
- $h'(z,-) \in L^1(\Omega,\mu,\C)$ für alle $z \in U$ (hier bezeichnet $h'(z,\omega)$ die komplexe Ableitung der Funktion $h(-,\omega)$ im Punkt $z$),
- es gibt eine Funktion $g \in L^1(\Omega,\mu,\R)$, so dass für alle $\omega \in \Omega$ und alle $z \in U$ gilt: \[|h'(z,\omega)| \leq g(\omega).\]
Als Anwendung betrachten wir einen Punkt $c \in \C^n$, $n \in \N$, einen Multiradius $r = (r_1,\dots,r_n) > 0$ sowie eine Funktion \[f \colon T \to \C, \quad T = T(c,r).\] Hier ist
\[T(c,r) = T(c_1,r_1) \times \dots \times T(c_n,r_n)\]
und
\[T(c_\nu,r_\nu) = \{z_\nu \in \C \mid |z_\nu - c_\nu| = r_\nu\}, \quad \nu = 1,\dots,n.\]
Für $\nu = 1,\dots,n$ definieren wir \[\gamma_\nu \colon [0,2\pi] \to \C, \quad \gamma_\nu(\omega_\nu) = c_\nu + r_ve^{\omega_\nu i}.\] Weiter definieren wir \[\gamma \colon [0,2\pi]^n \to T \subset \C^n, \quad \gamma(\omega) = (\gamma_1(\omega_1),\dots,\gamma_n(\omega_n)).\] Wir wollen annahmen, dass \[f \circ \gamma \in L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\C),\] wobei $\lambda$ die Einschränkung des $n$-dimensionalen Lebesgue-Maßes auf $[0,2\pi]^n \subset \R^n$ bezeichnet; dies gilt z. B., wenn $f \colon T \to \C$ Borel-messbar und beschränkt (spezieller noch: stetig) ist. Wir fixieren ein $\nu \in \{1,\dots,n\}$ sowie komplexe Zahlen \[z_1,\dots,z_{\nu-1},z_{\nu+1},\dots,z_n,\] so dass $|z_\mu - c_\mu| \neq r_\mu$ für alle $\mu \neq \nu$. Wir setzen \[U := \C \setminus T(c_\nu,r_\nu)\] und definieren \[h \colon U \times [0,2\pi]^n \to \C, \quad h(z_\nu,\omega) := \frac{f(\gamma(\omega))}{(\gamma(\omega) - z)^m}\gamma_1'(\omega_1)\cdot\ldots\cdot\gamma_n'(\omega_n).\] Hier ist $m = (m_1,\dots,m_n) \in (\N^*)^n$ ein beliebiger Multiindex. Dann gilt für alle $z_\nu \in U$ und alle $\omega \in [0,2\pi]^n$:
\begin{align*}
|h(z_\nu,\omega)| &= \frac{|(f \circ \gamma)(\omega)|}{|(\gamma(\omega) - z)^m|}r_1\cdot\ldots\cdot r_n \\ &\leq \frac{|(f \circ \gamma)(\omega)|}{|r_1 - |z_1||^{m_1}\cdot\ldots\cdot|r_n - |z_n||^{m_n}}r_1\cdot\ldots\cdot r_n.
\end{align*}
Das heißt, für alle $z_\nu \in U$ ist $h(z_\nu,-)$, zusammen mit $f\circ \gamma$, ein Element von $L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\C)$. Weiterhin gilt offensichtlich $h(-,\omega) \in \mathcal O(U)$ für alle $\omega \in [0,2\pi]^n$, und für alle $z_\nu \in U$ haben wir zudem
\[h'(z_\nu,\omega) = m_\nu\frac{f(\gamma(\omega))}{(\gamma(\omega) - z)^{m + e_\nu}}\gamma_1'(\omega_1)\cdot\ldots\cdot\gamma_n'(\omega_n).\] Ähnlich wie für $h(z_\nu,-)$ sehen wir ein, dass \[h'(z_\nu,-) \in L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\C)\] für alle $z_\nu \in U$.
Sei jetzt entweder $0 < r_\nu' < r_\nu$ oder $r_\nu' > r_\nu$ und entsprechend \[U' = \{z_\nu \mid |z_\nu - c_\nu| < r_\nu'\}\] oder \[U' = \{z_\nu \mid |z_\nu - c_\nu| > r_\nu'\}.\] Dann gibt es eine Funktion $g \in L^1([0,2\pi]^n,\lambda,\R)$, nämlich \[g = C |f \circ \gamma|\] für eine Zahl $C > 0$, so dass \[|h'(z_\nu,\omega)| \leq g(\omega)\] für alle $\omega \in [0,2\pi]^n$ und alle $z_\nu \in U'$. Satz 2 liefert daher, dass \[H|_{U'} \in \mathcal O(U')\] mit entsprechender Formel für $H'|_{U'}$. Da $r_\nu'$ beliebig nahe bei $r_\nu$ gewählt werden kann, folgt $H \in \mathcal O(U)$ und \[H'(z) = \int_{[0,2\pi]^n} h'(z_\nu,-) d\lambda\] für alle $z \in U$.
Hebt man die Fixierung der $z_1,\dots,z_{\nu-1},z_{\nu+1},\dots,z_n$ sowie die Fixierung von $\nu$ auf, so zeigt das vorgestellte Argument die partielle komplexe Differenzierbarkeit der Funktion \[z \mapsto \int_T \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^m} d\zeta\] auf \[(\C \setminus T(c_1,r_1)) \times \dots \times (\C \setminus T(c_n,r_n)).\]
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